３×５と５×３を小学校教育で分けることについて

Twitterで話題となっていた「かけ算の５×３と３×５って違うの？」という議論がある。発端はこの日記らしく、ここではかけ算の順番の意味として「かける数」と「かけられる数」の意味的な差異を中心として論じている。これについては考え方の押し付けである、子供の芽をつぶす等さまざまな議論がなされたが、論点の食い違いや主観的議論のためになかなか噛み合っていないように見受けられた。そこで、かけ算の順序の区別が指示可能であるとしたら、クリアしなければいけないポイントを絞ると

１：（小学校レベルで出現する範囲の問題での）数学的体系としての妥当性
２：掛け算を教える教育手法としての妥当性

の二点が論点になると考えられる。ただ、２については個人差も大きく、論者の主観によるところも多くなるのでこの部分は最低限に絞り、主に１について論ずることとする。

まず、「かけ算の順序を区別すべきでない」とする側の論として、演算としては５×３と３×５は等しいという点を挙げる人が多いように見えたが、これは外延と内包の混同であると思われる。外延と内包を区別しないと議論が混乱するので、ここで一度整理しておこう。
「外延」というのは、そこで指示されたカテゴリに具体的に何が属するか、という、いわば結果を問題とした視点である。他方、「内包」というのは、指示の具体的な意味に着目した視点である。例えば、地球上の生物で、腎臓を持つ生物はすべて心臓を持ち、またその逆も正しかったとしよう。この場合、「腎臓を持つ生物」と「心臓を持つ生物」は、その集合の要素は全く同一である。だが、にもかかわらずこの二つの指し示す意味は異なっている。この場合は、外延は同一だが内包は異なる状況となる。
さて、「５×３」と「３×５」について、その区別を擁護する人々はその内包の差異、すなわち意味の差異を問題にしていた。これに対し「どちらも同じ１５だ」という応答は、その外延が等しいことを示しているにすぎないので、この応答は妥当だとは言えない。

では、かけ算の順序の区別は妥当なのだろうか。しかし、そういってよいかどうかは、もう少し考えてみる必要がある。それは、この方法で数学的にきちんとした体系となっているかどうかのチェックである。

数学（算数かもしれないが）の体系である以上、その後の展開との接続性や、体系の無矛盾性、状態を適切に記述できるか、等が問われねばならない。もちろん、小学校段階で出てこないような複雑な事例に言及する必要はないが、簡単な例においてその規則が機能しないようならば、その規則は上手くいっていないと見るべきであろう。
さて、順序を明確にするための積を表す記号としては別に「×」である必要はない。例えば（ｐ｜ｑ）という記号で「ｐ枚の皿に、それぞれｑ個のリンゴが載せられている状態」を表すものとする。さらにｆ（ｐ｜ｑ）でその状態におけるリンゴの総量を表すものとする。こうすれば、ｆ（ｐ｜ｑ）とｆ（ｑ｜ｐ）とでは、値は同じだが指し示している意味が異なるということは明確になる。要するにかけ算の順序の区別が明白になる。
しかし、ｆはその記号の「定義」として、ｆ（ｐ｜ｑ）＝ｐ・ｑが定められていなければならない（なお、右辺は単に整数の積の演算を表している）。さらに、これが重要な点なのだが、整数の積について、すなわち「自然数の積の体系（という可換な半群）」は、ｆの定義よりも前に自明なものとしてその存在を認められていなければならない。そうでないならば、ｆ（ｐ｜ｑ）＝ｆ（ｑ｜ｐ）を導くことはできない。なぜなら、それは公理系には組み込まれていないからである。

ｆ（ｐ｜ｑ）というのは、最初の議論では「ｐ×ｑ」と同じものであった。なので、これと同一の問題が発生する。すなわち、かける数とかけられる数を区別し、その状態の意味内容と対応する形で「×」を定義してしまった場合には、演算として「×」が可換であること、つまり計算においては「３×５＝５×３」であることが一般的には示せなくなってしまうのである。
もちろん、九九の表を参照することによって、九九については積が可換であることを確認することは出来る。しかし、それはしらみつぶし的な確認でしかなく、しかも九九の表に載っていない計算については全く保障されていない。「３×５」を「３を５回足すこと」と言い変えたところで、一般に「ｐをｑ回足すこと」と「ｑをｐ回足すこと」が同一の結果となることは、積の可換性、ｐ×ｑ＝ｑ×ｐを用いなければ示すことはできない。
なので、演算においては積が可換であることをいうためには、「×」の定義より前に、「自然数の積という可換な半群」があらかじめ知られていなければならない。ところが「×」はまさに積について習う最初の段階で教えられているのだから、小学生が「演算としての自然数の積の規則」を知っているはずがない。なので、この仮定は成り立たない。

以上を踏まえると、順序を持たせた「×」を整合的に教えるには、

●演算体系としての自然数の積の体系（可換な半群）を習得する。ここにおいては「ｐ・ｑ＝ｑ・ｐ」である
●状態を記述する意味を持つ記号としての「×」を習得する。ここにおいては「ｐ×ｑ」と「ｑ×ｐ」は異なる意味を持つ
●記号「ｐ×ｑ」は、その演算としてはｐ・ｑを示している

という３つをすべてセットにして教えるしかない。もちろん「・」の記法はここで便宜上用いただけで、実際には「概念的存在としての自然数の積の体系」と「記述法としての×記号」が、同一の表記をしながら異なる概念として存在していることを理解するということである。だが、このような回りくどい方法をとるのが果たして教育手法として妥当なのだろうか。少なくとも私にはそうは思えなかった。

Ｐ．Ｓ．なお、かけ算の順序を支持する論拠の多くは、「一つあたりの、という概念を理解させること」「単位についてきちんと理解させること」等を想定しているように思われる。（冒頭のtwitterまとめ、および例えば「【ゆっくり理解】なぜ３×５で正答で、５×３が小２のテストでは不正解なのか」など）
だが、これらの点については、「かけ算の順序という方法を採用するのはまわりくどくて混乱を多く招くので、他の方法を採用した方がいい」という一点に尽きているように思われる。試験等の出題方法としても、例えばかけ算において単位を明記させる、一つあたりの数を単刀直入に問う、式とともに日本語でどのように考えたのかの説明を加えさせる、等さまざまなよりよい方法が考えられる。こちらの方が順序支持派の「小学生に理解してもらいたいこと」はより小学生に適切に理解してもらえると考えられる。